已知向量,且满足.(1)求函数的解析式;(2)求函数的最大值及其对应的值;(3)若,求的值.
(本小题共13分)对于数列,若满足,则称数列为“0-1数列”.定义变换,将“0-1数列”中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.例如:1,0,1,则设是“0-1数列”,令3,…. (Ⅰ) 若数列:求数列; (Ⅱ) 若数列共有10项,则数列中连续两项相等的数对至少有多少对?请说明理由; (Ⅲ)若为0,1,记数列中连续两项都是0的数对个数为,.求关于的表达式.
(本小题共13分)在平面直角坐标系中,设点,以线段为直径的圆经过原点. (Ⅰ)求动点的轨迹的方程; (Ⅱ)过点的直线与轨迹交于两点,点关于轴的对称点为,试判断直线是否恒过一定点,并证明你的结论.
(本小题共14分)已知函数.. (Ⅰ)当时,求曲线在处的切线方程(); (Ⅱ)求函数的单调区间.
(本小题共14分)如图,四棱锥的底面是直角梯形,,,和是两个边长为的正三角形,,为的中点,为的中点. (Ⅰ)求证:平面; (Ⅱ)求证:平面; (Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
(本小题共13分)某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的. (Ⅰ) 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率; (Ⅱ) 用表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求的分布列和数学期望.