已知函数的定义域为[,],值域为,],并且在,上为减函数.(1)求的取值范围; (2)求证:;(3)若函数,,的最大值为M,求证:
已知函数().(Ⅰ)讨论的单调性;(Ⅱ)若对任意恒成立,求实数的取值范围(为自然常数);(Ⅲ)求证:(,).
已知直线与椭圆相交于两点.(Ⅰ)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段的长;(Ⅱ)若向量与向量互相垂直(其中为坐标原点),当椭圆的离心率时,求椭圆的长轴长的最大值.
如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直线,且,且∥.(Ⅰ)设点为棱中点,求证:平面;(Ⅱ)线段上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值等于?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.
甲、乙、丙三班进行知识竞赛,每两班比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得分,负者得分,没有平局,在每一场比赛中,甲班胜乙班的概率为,甲班胜丙班的概率为,乙班胜丙班的概率为.(Ⅰ)求甲班获第一名且丙班获第二名的概率;(Ⅱ)设在该次比赛中,甲班得分为,求的分布列和数学期望.
已知,其中,,.(Ⅰ)求的单调递减区间;(Ⅱ)在中,角所对的边分别为,,,且向量与共线,求边长和的值.