(10分)如图1,O为正方形ABCD的中心,分别延长OA、OD到点F、E,使OF=2OA,OE=2OD,连接EF.将△EOF绕点O逆时针旋转角得到△E1OF1(如图2).(1)探究AE1与BF1的数量关系,并给予证明;(2)当=30°时,求证:△AOE1为直角三角形.
如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(0,4),C(2,0),将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350,得到矩形EFGH(点E与O重合).(1)若GH交y轴于点M,则∠FOM= ,OM= ;(2)矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位.①直线GH与x轴交于点D,若AD∥BO,求t的值;②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位,试求当0<t≤时,S与t之间的函数关系式.
如果我们定义:“到三角形的两个顶点距离相等的点,叫做此三角形的开心点。”那么:(1)如图1,观察并思考,△ABC的开心点有 个(2)如图2,CD为等边三角形ABC的高,开心点P在高CD上,且PD=,则∠APB的度数为 (3)已知△ABC为直角三角形,斜边BC=5,AB=3,开心点P在AC边上,试探究PA的长。
国家推行“节能减排,低碳经济”的政策后,某企业推出一种叫“CNG”的改烧汽油为天然气的装置,每辆车改装费为b元.据市场调查知:每辆车改装前、后的燃料费(含改装费)、(单位:元)与正常运营时间(单位:天)之间分别满足关系式:、,如图所示.试根据图像解决下列问题:(1)每辆车改装前每天的燃料费= 元,每辆车的改装费b= 元.正常运营 天后,就可以从节省燃料费中收回改装成本.(2)某出租汽车公司一次性改装了100辆车,因而,正常运营多少天后共节省燃料费40万元?
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤.第一个月以单价80元销售,售出了200件;第二个月如果单价不变,预计仍可售出200件,批发商为增加销售量,决定降价销售,根据市场调查,单价每降低1元,可多售出10件,但最低单价应高于购进的价格;第二个月结束后,批发商将对剩余的T恤一次性清仓,清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.(1)填表:
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元,那么第二个月的单价应是多少元?
如图,△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,ÐDOC=2ÐACD=90°. (1)求证:直线AC是⊙O的切线; (2)如果ÐACB=75°,⊙O的半径为2,求BD的长.