(本小题满分12分)已知函数 .(1)讨论函数的单调性;(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;(3)证明:.
设函数 f ( x ) = ( x + a ) ln x , g ( x ) = x 2 e x . 已知曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线与直线 2 x - y = 0 平行. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)是否存在自然数 k ,使得方程 f ( x ) = g ( x ) 在 ( k , k + 1 ) 内存在唯一的根?如果存在,求出 k ;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)设函数 m ( x ) = m i n { f ( x ) , g ( x ) } ( m i n { p , q } 表示, p , q 中的较小值),求 m ( x ) 的最大值.
已知数列是首项为正数的等差数列,数列的前项和为. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设,求数列的前项和.
如图,三棱台DEF-ABC中, A B = 2 D E , G , H 分别为 A C , B C 的中点.
(Ⅰ)求证: B D ∥ 平面 F G H ; (Ⅱ)若 C F ⊥ B C , A B ⊥ B C 求证:平面 B C D ⊥ 平面 E G H .
中,角所对的边分别为.已知 求 和的值.
某中学调查了某班全部 名同学参加书法社团和演讲社团的情况,数据如下表:(单位:人)
(1)从该班随机选 名同学,求该同学至少参加上述一个社团的概率;
(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的 名同学中,有5名男同学 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , 名女同学 B 1 , B 2 , B 3 现从这 名男同学和 名女同学中各随机选 人,求 A 1 被选中且 B 1 未被选中的概率.