如图，在Rt△ABC中，∠C90°，点D是AC的中点，且∠A

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，且∠A+∠CDB=90°，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

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如图，在 $▱ ABCD$ 中， $∠ ABC = 75^{\circ} ， AF ⊥ BC$ 于 $F ， AF$ 交 $BD$ 于 $E$ ，若 $DE = 2 AB$ ，求 $∠ AED$ 的大小.

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设 $a, b, c, d$ 为正实数， $a < b, c 〈d, bc〉 ad$ ，有一个三角形的三边长分别为 $\sqrt{a^{2} + c^{2}}, \sqrt{b^{2} + d^{2}}, \sqrt{{(b - a)}^{2} + {(d - c)}^{2}}$ ，求此三角形的面积.

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几何模型：

条件：如图①， $A, B$ . 是直线 $l$ 同旁的两个定点

问题：在直线 $l$ 上确定一点 $P$ ，使 $PA + PB$ 的值最小.

方法：作点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ ，连接 $A^{'} B$ 交 $l$ 于点 $P$ ，则 $PA + PB = A^{'} B$ 的值最小（不必证明）.

模型应用：

（1）如图②，正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$ ， $E$ 为 $AB$ 的中点， $P$ 是 $AC$ 上一动点.连接 $BD$ ，由正方形对称性可知， $B$ 与 $D$ 关于直线 $AC$ 对称.连接 $ED$ 交于 $AC$ 于 $P$ ，则 $PB + PE$ 的最小值是＿＿＿＿＿；

（2）如图③， $∠ AOB = 45 °, P$ 是 $∠ AOB$ 内一点， $PO = 10, Q, R$ 分别是 $OA, OB$ 上的动点，求 $△ PQR$ 周长的最小值.

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如图所示， $C$ 为线段 $BD$ 上一动点，分别过点 $B, D$ 作 $AB ⊥ BD$ ， $ED ⊥ BD$ ，连接 $AC, EC$ .已知 $AB = 5, DE = 1, BD = 8$ ，设 $CD = x$ .

（1）用含 $x$ 的代数式表示 $AC + CE$ 的长；

（2）请问点 $C$ 满足什么条件时， $AC + CE$ 的值最小?

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9}$ 的最小值.

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