（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲。设正有理数是的一_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲。设正有理数是的一个近似值，令．
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）求证：比更接近于．

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如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中， $AB / / CD$ ，且 $∠ BAP = ∠ CDP = 9 0^{\circ}$ .

（1）证明：平面 $PAB ⊥$ 平面 $PAD$ ；

（2）若 $PA = PD = AB = DC$ ， $∠ APD = 9 0^{\circ}$ ，求二面角 $A - PB - C$ 的余弦值.

题型：未知
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△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $△ ABC$ 的面积为 $\frac{a^{2}}{3 \sin A}$

（1）求 $sinBsinC$ ;

（2）若 $6 cosBcosC = 1$ ， $a = 3$ ，求 $△ ABC$ 的周长.

题型：未知
难度：未知

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[选修4-5：不等式选讲]

已知 $a > 0, b > 0, a^{3} + b^{3} = 2$ ，证明：

（1） $(a + b) (a^{3} + b^{3}) \geq 4$ ；

（2） $a + b \leq 2$ ．

题型：未知
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[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos θ = 4$ ．

（1） M为曲线 $C_{1}$ 上的动点，点 P在线段 OM上，且满足 $| OM | \cdot | OP | = 16$ ,求点 P的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（2）设点 A的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$ ，点 B在曲线 $C_{2}$ 上，求 $ΔOAB$ 面积的最大值．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = a x^{3} - ax - x \ln x,$ 且 $f (x) \geq 0$ .

（1）求 a；

（2）证明： $f (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $e^{- 2} < f (x_{0}) < 2^{- 3}$ .

题型：未知
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