如图，在直三棱柱 A B C - A 1 B 1 C 1 中， ∠ B A C = 90 ° ， A B = A C = A A 1 = 1 ，延长 A 1 C 1 至点 P ，使 C 1 P = A 1 C 1 ，连接 A P 交棱 C C 1 于 D ．
（Ⅰ）求证： P B 1 / / 平面 B D A 1 ； （Ⅱ）求二面角 A - A 1 D - B 的平面角的余弦值；
化简：
已知函数，在时取得极值． （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）若时,恒成立，求实数m的取值范围； （Ⅲ）若，是否存在实数b，使得方程在区间上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．
在数列中，，且. (Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明； (Ⅱ) 设，求证：对任意的自然数，都有；
已知:，(1)求证: (2)求的最小值
求函数的最小值，其中
，在
时取得极值．
的解析式；
时,
恒成立，求实数m的取值范围；
，是否存在实数b，使得方程
在区间
上恰有两个相异实数根，若存在，求出b的范围，若不存在说明理由．
中，
，且
.
，猜想
的表达式，并加以证明；
，求证：对任意的自然数
，都有
；
，(1)求证:
的最小值
的最小值，其中
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