如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $\angle BAC={90}^{°}$， $AB=AC=A{A}_1=1$，延长 $A_1{C}_1$至点 $P$，使 $C_{1}P=A_1{C}_1$，连接 $AP$交棱 $C{C}_1$于 $D$．

（Ⅰ）求证： $P{B}_1//$平面 $BD{A}_1$；
（Ⅱ）求二面角 $A-A_{1}D-B$的平面角的余弦值；