已知等比数列的公比，是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
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已知等比数列的公比，是和的一个等比中项，和的等差中项为，若数列满足（）．
（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．

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已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \cos (x - \frac{π}{3})$

（1）求 $f (\frac{2 π}{3})$ 的值；
（2）求使 $f (x) < \frac{1}{4}$ 成立的 $x$ 的取值集合

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设函数 $f (x) = x^{3} - k x^{2} + x (x \in R)$ ．
(1) 当 $k = 1$ 时,求函数 $f (x)$ 的单调区间；
(2) 当 $k < 0$ 时,求函数 $f (x)$ 在 $[k, - k]$ 上的最小值 $m$ 和最大值 $M$ ．

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已知抛物线 $C$ 的顶点为原点，其焦点 $F (0, c) (c > 0)$ 到直线 $l : x - y - 2 = 0$ 的距离为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ．设 $P$ 为直线 $l$ 上的点，过点 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线 $P A, P B$ ，其中 $A, B$ 为切点．
(1) 求抛物线 $C$ 的方程；
(2) 当点 $P (x_{0}, y_{0})$ 为直线 $l$ 上的定点时，求直线 $A B$ 的方程；
(3) 当点 $P$ 在直线 $l$ 上移动时，求 $|A B| \cdot |B F|$ 的最小值．

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设各项均为正数的数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，满足 $4 S_{n} = a_{n + 1}^{2} - 4 n - 1, n \in N^{*}$ ,且 $a_{2}, a_{5}, a_{14}$ 构成等比数列．
(1) 证明： $a_{2} = \sqrt{4 a_{1} + 5}$ ；
(2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
(3) 证明：对一切正整数 $n$ ，有 $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + . . . + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{2}$ ．

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如图①，在边长为1的等边三角形 $A B C$ 中， $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 边上的点， $A D = A E$ ， $F$ 是 $B C$ 的中点， $A F$ 与 $D E$ 交于点 $G$ ，将 $△ A B F$ 沿 $A F$ 折起，得到如图②所示的三棱锥 $A - B C F$ ，其中 $B C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1) 证明： $D E / /$ 平面 $B C F$ ；
(2) 证明： $C F ⊥$ 平面 $A B F$ ；
(3) 当 $A D = \frac{2}{3}$ 时，求三棱锥 $F - D E G$ 的体积 $V_{F - D E G}$ ．

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