已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线段 P Q 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d P , l . ⑴ 求点 P ( 1 , 1 ) 到线段 l : x - y - 3 = 0 ( 3 ≤ x ≤ 5 ) 的距离 d P , l ; ⑵ 设 l 是长为2的线段,求点集 D = P | d ( P , l ) ≤ 1 所表示图形的面积; ⑶ 写出到两条线段 l 1 , l 2 距离相等的点的集合 Ω = P | d ( P , l 1 ) = d ( P , l 2 ) ,其中 l 1 = A B , l 2 = C D , A , B , C , D 是下列三组点中的一组.对于下列三组点只需选做一种,满分分别是①2分,②6分,③8分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计分。 ① A ( 1 , 3 ) , B ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 3 ) , D ( - 1 , 0 ) . ② A ( 1 , 3 ) , B ( 1 , 0 ) , ( - 1 , 3 ) , D ( - 1 , - 2 ) . ③ A ( 0 , 1 ) , B ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) , D ( 2 , 0 ) .
(本小题满分12分)已知函数. (1)求的值; (2)求函数的最小正周期和单调增区间; (3)说明的图像是如何由函数的图像变换所得.
【改编】(本小题满分12分)贵广高速铁路自贵阳北站起,经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站.其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站.记者对广东省内的6个车站随机抽取3个进行车站服务满意度调查. (1)求抽取的车站中不含佛山市内车站(包括三水南站和佛山西站)的概率; (2)设抽取的车站中含有肇庆市内车站(包括怀集站、广宁站、肇庆东站)个数为X,求X的分布列及其均值(即数学期望).
对于函数,若时,恒有成立,则称函数是上 的“函数”. (Ⅰ)当函数是定义域上的“函数”时,求实数的取值范围; (Ⅱ)若函数为上的“函数”. (ⅰ)试比较与的大小(其中); (ⅱ)求证:对于任意大于的实数,,,,均有.
(本小题满分13分)已知椭圆的离心率为,且过点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)四边形ABCD的顶点在椭圆上,且对角线AC,BD过原点O,设,满足. (ⅰ)试证的值为定值,并求出此定值; (ⅱ)试求四边形ABCD面积的最大值.
(本小题满分12分)如图,垂直于梯形所在的平面,.为中点,,四边形为矩形,线段交于点N . (1)求证:// 平面; (2)求二面角的大小; (3)在线段上是否存在一点,使得与平面所成角的大小为? 若存在,请求出的长;若不存在,请说明理由.