（Ⅰ）设函数 $f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)-\frac{2x}{x+2}$，证明：当 $x>0$时， $f\left(x\right)>0$

（Ⅱ）从编号 $1$到 $100$的 $100$张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 $20$次，设抽到的 $20$个号码互不相同的概率为 $p$，证明： $p<{\left(\frac{9}{10}\right)}^{19}<\frac{1}{e^2}$