在如图所示的几何体中,四边形 A B C D 为平行四边形, ∠ A C B = 90 ° , E A ⊥ 平面 A B C D , E F ∥ A B , F G ∥ B C , E G ∥ A C , A B = 2 E F .
(Ⅰ)若 M 是线段 A D 的中点,求证: G M ∥ 平面 A B F E ; (Ⅱ)若 A C = B C = 2 A E ,求二面角 A - B F - C 的大小.
平面内给定三个向量,回答下列问题: (Ⅰ)求满足的实数m,n; (Ⅱ)若,求实数k;
(本小题满分10分) 有一根钢管,长度是4000mm,要截成500mm和600mm两种毛坯,且这两种数量比大于配套,问怎样截取所得毛坯总数最多?
(本小题满分12分) 设各项均为正数的数列的前n项和为,已知,数列是公差为的等差数列。 (1)求数列的通项公式(用表示); (2)设为实数,对满足的任意正整数,不等式都成立。求证:的最大值为。
(本小题满分12分) 某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池(平面图如图)。由于地形限制,长、宽都不能超过16米。如果池外圈四周壁造价为每平方米400元,中间两条隔墙造价为每平方米248元,池底造价为每平方米80元,池壁的厚度不计。试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价。(池深用h 表示)
(本小题满分12分) 已知函数,若对任意恒成立, 试求实数的取值范围。