某网络约车公司近期推出了”520专享”服务计划,即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”,为进一步提升服务品质,公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况.老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据,这些里程数据均不超过25(公里),他从中随机抽取了200个数据作为一个样本,整理、统计结果如下表,并绘制了不完整的频数分布直方图(如图).
组别
单次营运里程“ x ”(公里)
频数
第一组
0 < x ⩽ 5
72
第二组
5 < x ⩽ 10
a
第三组
10 < x ⩽ 15
26
第四组
15 < x ⩽ 20
24
第五组
20 < x ⩽ 25
30
根据统计表、图提供的信息,解答下面的问题:
(1)①表中 a = ;②样本中“单次营运里程”不超过15公里的频率为 ;③请把频数分布直方图补充完整;
(2)请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数;
(3)为缓解城市交通压力,维护交通秩序,来自某市区的4名网约车司机 ( 3 男1女)成立了“交通秩序维护”志愿小分队,若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通秩序,请用列举法(画树状图或列表)求出恰好抽到“一男一女”的概率.
如图,点 E 、 F 分别是矩形 ABCD 的边 AD 、 AB 上一点,若 AE = DC = 2 ED ,且 EF ⊥ EC .
(1)求证:点 F 为 AB 的中点;
(2)延长 EF 与 CB 的延长线相交于点 H ,连接 AH ,已知 ED = 2 ,求 AH 的值.
如图,抛物线经过原点 O ( 0 , 0 ) ,点 A ( 1 , 1 ) ,点 B ( 7 2 , 0 ) .
(1)求抛物线解析式;
(2)连接 OA ,过点 A 作 AC ⊥ OA 交抛物线于 C ,连接 OC ,求 ΔAOC 的面积;
(3)点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点,连接 OM ,过点 M 作 MN ⊥ OM 交 x 轴于点 N .问:是否存在点 M ,使以点 O , M , N 为顶点的三角形与(2)中的 ΔAOC 相似,若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.
阅读下列材料:
已知:如图1,等边△ A 1 A 2 A 3 内接于 ⊙ O ,点 P 是 A 1 A 2 ̂ 上的任意一点,连接 P A 1 , P A 2 , P A 3 ,可证: P A 1 + P A 2 = P A 3 ,从而得到: P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 = 1 2 是定值.
(1)以下是小红的一种证明方法,请在方框内将证明过程补充完整;
证明:如图1,作 ∠ P A 1 M = 60 ° , A 1 M 交 A 2 P 的延长线于点 M .
∵ △ A 1 A 2 A 3 是等边三角形,
∴ ∠ A 3 A 1 A 2 = 60 ° ,
∴ ∠ A 3 A 1 P = ∠ A 2 A 1 M
又 A 3 A 1 = A 2 A 1 , ∠ A 1 A 3 P = ∠ A 1 A 2 P ,
∴ △ A 1 A 3 P ≅ △ A 1 A 2 M
∴ P A 3 = M A 2 = P A 2 + PM = P A 2 + P A 1 .
∴ P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 = 1 2 ,是定值.
(2)延伸:如图2,把(1)中条件“等边△ A 1 A 2 A 3 ”改为“正方形 A 1 A 2 A 3 A 4 ”,其余条件不变,请问: P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 + P A 4 还是定值吗?为什么?
(3)拓展:如图3,把(1)中条件“等边△ A 1 A 2 A 3 ”改为“正五边形 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 ”,其余条件不变,则 P A 1 + P A 2 P A 1 + P A 2 + P A 3 + P A 4 + P A 5 = (只写出结果).
矩形 AOBC 中, OB = 4 , OA = 3 .分别以 OB , OA 所在直线为 x 轴, y 轴,建立如图1所示的平面直角坐标系. F 是 BC 边上一个动点(不与 B , C 重合),过点 F 的反比例函数 y = k x ( k > 0 ) 的图象与边 AC 交于点 E .
(1)当点 F 运动到边 BC 的中点时,求点 E 的坐标;
(2)连接 EF ,求 ∠ EFC 的正切值;
(3)如图2,将 ΔCEF 沿 EF 折叠,点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处,求此时反比例函数的解析式.