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(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲:如图所示,已知与⊙相切,为切点,过点的割线交圆于两点,弦,相交于点,为上一点,且.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,求的长.
(本小题满分12分) 设函数(1)当时,求函数的单调区间;(2)令<≤,其图像上任意一点处切线的斜率≤恒成立,求实数的取值范围;(3)当时,方程在区间内有唯一实数解,求实数的取值范围.
(本小题满分12分)椭圆:的离心率为,长轴端点与短轴端点间的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与椭圆交于两点,为坐标原点,若为直角三角形,求直线的斜率.
(本小题满分12分)在如图所示的空间几何体中,平面平面,与是边长为的等边三角形,,和平面所成的角为,且点在平面上的射影落在的平分线上.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的道题中,甲答对其中每道题的概率都是,乙能答对其中的道题.规定每次考试都从备选的道题中随机抽出道题进行测试,答对一题加分,答错一题(不答视为答错)减分,至少得分才能入选.(1)求乙得分的分布列和数学期望;(2)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.