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已知函数和点,过点作曲线的两条切线、,切点分别为、.(Ⅰ)设,试求函数的表达式;(Ⅱ)是否存在,使得、与三点共线.若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若对任意的正整数,在区间内总存在个实数,,使得不等式成立,求的最大值.
若存在实常数和,使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足:和,则称直线为和的“隔离直线”.已知,(其中为自然对数的底数).(1)求的极值;(2) 函数和是否存在隔离直线?若存在,求出此隔离直线方程;若不存在,请说明理由.
已知直线相交于A、B两点,M是线段AB上的一点,,且点M在直线上.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上,求椭圆的方程.
设曲线C:的离心率为,右准线与两渐近线交于P,Q两点,其右焦点为F,且△PQF为等边三角形。(1)求双曲线C的离心率;(2)若双曲线C被直线截得弦长为,求双曲线方程;(3)设双曲线C经过,以F为左焦点,为左准线的椭圆的短轴端点为B,求BF 中点的轨迹N方程。
如图,平面直角坐标系中,和为两等腰直角三角形,,C(a,0)(a>0).设和的外接圆圆心分别为,.(Ⅰ)若⊙M与直线CD相切,求直线CD的方程;(Ⅱ)若直线AB截⊙N所得弦长为4,求⊙N的标准方程;(Ⅲ)是否存在这样的⊙N,使得⊙N上有且只有三个点到直线AB的距离为,若存在,求此时⊙N的标准方程;若不存在,说明理由.