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[选修4-5：不等式选讲]

已知 $a > 0, b > 0, a^{3} + b^{3} = 2$ ，证明：

（1） $(a + b) (a^{3} + b^{3}) \geq 4$ ；

（2） $a + b \leq 2$ ．

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[选修4-4：坐标系与参数方程]

在直角坐标系 $x O y$ 中，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程为 $ρ \cos θ = 4$ ．

（1） M为曲线 $C_{1}$ 上的动点，点 P在线段 OM上，且满足 $| OM | \cdot | OP | = 16$ ,求点 P的轨迹 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（2）设点 A的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$ ，点 B在曲线 $C_{2}$ 上，求 $ΔOAB$ 面积的最大值．

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已知函数 $f (x) = a x^{3} - ax - x \ln x,$ 且 $f (x) \geq 0$ .

（1）求 a；

（2）证明： $f (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{0}$ ，且 $e^{- 2} < f (x_{0}) < 2^{- 3}$ .

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设O为坐标原点，动点M在椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足 $\vec{NP} = \sqrt{2} \vec{NM}$ .

(1) 求点 P的轨迹方程；

(2) 设点 Q在直线 $x = - 3$ 上，且 $\vec{OP} \cdot \vec{PQ} = 1$ .证明：过点 P且垂直于 $OQ$ 的直线 l过 C的左焦点 F.

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如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，侧面 $PAD$ 为等比三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB = BC = \frac{1}{2} AD, ∠ BAD = ∠ ABC = 9 0^{o},$ $E$ 是 $PD$ 的中点.

（1）证明：直线 $CE / /$ 平面 $PAB$ ;

（2）点 M在棱 PC上，且直线 BM与底面 ABCD所成锐角为 $4 5^{o}$ ，求二面角 $M - AB - D$ 的余弦值.

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