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如图， $⊙ O$ 为等边 $ΔABC$ 的外接圆，半径为2，点 $D$ 在劣弧 $\hat{AB}$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $DA$ ， $DB$ ， $DC$ ．

（1）求证： $DC$ 是 $∠ ADB$ 的平分线；

（2）四边形 $ADBC$ 的面积 $S$ 是线段 $DC$ 的长 $x$ 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $CA$ ， $CB$ 上运动（不含端点），经过探究发现，点 $D$ 运动到每一个确定的位置， $ΔDMN$ 的周长有最小值 $t$ ，随着点 $D$ 的运动， $t$ 的值会发生变化，求所有 $t$ 值中的最大值．

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如图， $ΔABD$ 中， $∠ ABD = ∠ ADB$ ．

（1）作点 $A$ 关于 $BD$ 的对称点 $C$ ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）所作的图中，连接 $BC$ ， $DC$ ，连接 $AC$ ，交 $BD$ 于点 $O$ ．

①求证：四边形 $ABCD$ 是菱形；

②取 $BC$ 的中点 $E$ ，连接 $OE$ ，若 $OE = \frac{13}{2}$ ， $BD = 10$ ，求点 $E$ 到 $AD$ 的距离．

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粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降 $50 %$ ．

（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元；

（2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．

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如图，平面直角坐标系 $xOy$ 中， $▱ OABC$ 的边 $OC$ 在 $x$ 轴上，对角线 $AC$ ， $OB$ 交于点 $M$ ，函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过点 $A$ $(3, 4)$ 和点 $M$ ．

（1）求 $k$ 的值和点 $M$ 的坐标；

（2）求 $▱ OABC$ 的周长．

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为了更好地解决养老问题，某服务中心引入优质社会资源为甲，乙两个社区共30名老人提供居家养老服务，收集得到这30名老人的年龄（单位：岁）如下：

甲社区	67	68	73	75	76	78	80	82	83	84	85	85	90	92	95
乙社区	66	69	72	74	75	78	80	81	85	85	88	89	91	96	98

根据以上信息解答下列问题：

（1）求甲社区老人年龄的中位数和众数；

（2）现从两个社区年龄在70岁以下的4名老人中随机抽取2名了解居家养老服务情况，求这2名老人恰好来自同一个社区的概率．

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