(本小题满分12分)
如图, F 1 F 2 分别是椭圆 C : x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 a > b > 0 的左、右焦点, A 是椭圆 C 的顶点, B 是直线 A F 2 与椭圆 C 的另一个交点, ∠ F 1 A F 2 = 60 ° .
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)已知 ∆ A F 1 B 的面积为 40 3 ,求 a , b 的值.
如图,长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 中,底面 A 1 B 1 C 1 D 1 是正方形, O 是 B D 的中点, E 是棱 A A 1 上任意一点.
(Ⅰ)证明: B D ⊥ E C 1 ; (Ⅱ)如果 A B = 2 , A E = 2 , O E ⊥ E C 1 , 求 A A 1 的长.
若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过 1 m m 时,则视为合格品,否则视为不合格品。在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取 5000 件进行检测,结果发现有 50 件不合格品。计算这 50 件不合格品的直径长与标准值的差(单位: m m ), 将所得数据分组,得到如下频率分布表:
(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在相应位置; (Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率; (Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品。据此估算这批产品中的合格品的件数。
设定义在( 0 , + ∞ )上的函数 f x = a x + 1 a x + b a > 0
(Ⅰ)求 f x 的最小值; (Ⅱ)若曲线 y = f x 在点 1 , f 1 处的切线方程为 y = 3 2 x ,求 a , b 的值。
设△ A B C 的内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c ,且有 2 sin B cos A = sin A cos C + cos A sin C .
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b = 2 , c = 1 , D 为 B C 的中点,求 A D 的长.