在数列中,已知.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.
如图,我市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道。赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数的图像,且图像的最高点为;赛道的后一部分为折线段,为保证参赛运动员的安全,限定。(1)求的值和两点间的距离(2)应如何设计,才能使折线段赛道最长
在中,为锐角,角所对应的边分别为,且(I)求的值; (II)若,求的值。
已知函数 f ( x ) = ln ( 1 + x ) - x 1
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)记 f ( x ) 在区间 0 , π ( n ∈ N * )上的最小值为 b x 令 a n = ln ( 1 + n ) - b x . (ⅰ)如果对一切 n ,不等式 a n < a n - 2 - c a n + 2 恒成立,求实数 c 的取值范围; (ⅱ)求证: a 1 a 3 + a 1 a 3 a 2 a 4 + . . . + a 1 a 3 . . . a 2 n - 1 a 2 a 4 . . . a 2 n < 2 a n + 1 - 1 .
如图,椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的一个焦点是 F ( 1 , 0 ) , O 为坐标原点。
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点,若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 | O A | 2 + | O B | 2 < | A B | 2 ,求 a 的取值范围。
某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 1 2 ,假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ξ ,求 ξ 的数学期望 E ξ 。