如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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如图，在矩形中，，，是的中点，以为折痕将向上折起，使为，且平面平面

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小

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已知函数 $f (x) = a x^{4} \ln x + b x^{4} - c (x ＞ 0)$ 在 $x = 1$ 处取得极值 $- 3 - c$ ，其中 $a, b, c$ 为常数。
（1）试确定 $a, b$ 的值；
（2）讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；
（3）若对任意 $x > 0$ ，不等式 $f (x) \geq - 2 c^{2}$ 恒成立，求 $c$ 的取值范围.

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如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2, A B = 1, ∠ A B C = 90^{°}$ ；点 $D, E$ 分别在 $B B_{1}, A_{1} D$ 上，且 $B_{1} E ⊥ A_{1} D$ ，四棱锥 $C - A B D A_{1}$ 与直三棱柱的体积之比为3：5.

（1）求异面直线 $D E$ 与 $B_{1} C_{1}$ 的距离；
（2）若 $B C = \sqrt{2}$ ，求二面角 $A_{1} - D C_{1} - B_{1}$ 的平面角的正切值.

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某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆900元的保险金.对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位获9000元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次）.设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 $\frac{1}{9}, \frac{1}{10}, \frac{1}{11}$ ,且各车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中：
（1）获赔的概率；
（2）获赔金额 $ξ$ 的分布列与期望.

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设 $f (x) = 6 \cos^{2} x - \sqrt{3} \sin 2 x$

（1）求 $f (x)$ 的最大值及最小正周期；
（2）若锐角 $α$ 满足 $f (α) = 3 - 2 \sqrt{3}$ ，求 $\tan \frac{4}{5} α$ 的值.

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设 $f (x) = \frac{x^{3}}{3}$ ，对任意实数 $t$ ，记 $g_{t} (x) = t^{\frac{2}{3}} x - \frac{2}{3} t$ ．
（I）求函数 $y = f (x) - g_{t} (x)$ 的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g_{t} (x)$ 对任意正实数 $t$ 成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数 $x_{0}$ ，使得 $g_{x} (x_{0}) \geq g_{t} (x_{0})$ 对任意正实数 $t$ 成立．

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