（本小题满分12分）已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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（本小题满分12分）已知四棱锥底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， AD＝2，AB＝1，E．F分别是线段AB．BC的中点，

（1）证明：PF⊥FD；
（2）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；．
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

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已知函数 $f (x) = \ln x - a x^{2} + (2 - a) x$ ．
（I）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（II）设 $a > 0$ ，证明：当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时， $f (\frac{1}{a} + x) > f (\frac{1}{a} - x)$ ；
（III）若函数的图像与x轴交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 中点的横坐标为 $x_{0}$ ，
证明： $f ` (x_{0}) < 0$

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如图，已知椭圆 $C_{1}$ 的中心在原点 $O$ ，长轴左、右端点 $M, N$ 在 $x$ 轴上，椭圆 $C_{2}$ 的短轴为 $M N$ ，且 $C_{1}, C_{2}$ 的离心率都为 $e$ ，直线 $l ⊥ M N$ ， $l 与 C_{1}$ 交于两点，与 $C_{2}$ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为 $A, B, C, D$ .

（1）设 $e = \frac{1}{2}$ ，求 $|B C|$ 与 $|A D|$ 的比值；
（2）当 $e$ 变化时，是否存在直线 $l$ ，使得 $B O ∥ A N$ ，并说明理由.

题型：未知
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某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成 $n$ 小块地,在总共 $2 n$ 小块地中,随机选 $n$ 小块地种植品种甲,另外 $n$ 小块地种植品种乙.
(I)假设 $n = 4$ ,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为 $X$ ,求 $X$ 的分布列和数学期望；
(II)试验时每大块地分成8小块，即 $n = 8$ ,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位： $k g / h m^{2}$ ）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
附：样本数据 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{a}$ 的样本方差 $s^{2} = \frac{1}{n} [{(x_{1} - x)}^{2} + {(x_{2} - x)}^{2} + \dots + {(x_{n} - x)}^{2}]$ ,其中 $x$ 为样本平均数.

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（I）证明：平面 $P Q C ⊥$ 平面 $D C Q$

（II）求二面角 $Q - B P - C$ 的余弦值.

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已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 0$ ， $a_{6} + a_{8} = - 10$ .

（I）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（II）求数列 ${\frac{a_{n}}{2^{n - 1}}}$ 的前 $n$ 项和.

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