(本题满分14分) 已知实数a满足0<a≤2,a≠1,设函数f (x)=x3-x2+ax.(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;(Ⅱ) 若函数g(x)=x3+bx2-(2b+4)x+ln x (b∈R)的极小值点与f (x)的极小值点相同.求证:g(x)的极大值小于等于.求a,b及c的值.
已知实数 a ≠ 0 ,设函数 f ( x ) = a ln x + x + 1 , x > 0 .
(1)当 a = - 3 4 时,求函数 f ( x ) 的单调区间;
(2)对任意 x ∈ [ 1 e 2 , + ∞ ) 均有 f ( x ) ≤ x 2 a , 求 a 的取值范围.
注: e = 2 . 71828 . . . 为自然对数的底数.
如图,已知点 F ( 1 , 0 ) 为抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 ) 的焦点,过点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,点 C 在抛物线上,使得 △ ABC 的重心 G 在 x 轴上,直线 AC 交 x 轴于点 Q ,且 Q 在点 F 右侧.记 △ AFG , △ CQG 的面积为 S 1 , S 2 .
(1)求 p 的值及抛物线的准线方程;
(2)求 S 1 S 2 的最小值及此时点 G 的坐标.
设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 3 = 4 , a 4 = S 3 ,数列 { b n } 满足:对每 n ∈ N * , S n + b n , S n + 1 + b n , S n + 2 + b n 成等比数列.
(1)求数列 { a n } , { b n } 的通项公式;
(2)记 C n = a n 2 b n , n ∈ N * , 证明: C 1 + C 2 + ⋯ + C n < 2 n , n ∈ N * .
如图,已知三棱柱 ABC - A 1 B 1 C 1 ,平面 A A 1 C 1 C ⊥ 平面 ABC , ∠ ABC = 90 ° , ∠ BAC = 30 ° , A 1 A = A 1 C = AC , E , F 分别是 AC , A 1 B 1 的中点.
(1)证明: EF ⊥ BC ;
(2)求直线 EF 与平面 A 1 BC 所成角的余弦值.
设函数 f ( x ) = sin x , x ∈ R .
(1)已知 θ ∈ [ 0 , 2 π ) , 函数 f ( x + θ ) 是偶函数,求 θ 的值;
(2)求函数 y = [ f ( x + π 12 ) ] 2 + [ f ( x + π 4 ) ] 2 的值域.