如图, 在直三棱柱中,,,,点是 的中点,(1) 求证:; (2) 求证:.
(本小题共10分)选修4-4:极坐标和参数方程已知曲线C的极坐标方程是,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数)(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)设点,若直线l与曲线C交于A,B两点,且,求实数m的值.
(本小题共12分)已知函数(a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为-1.(1)求a的值及函数f(x)的单调区间;(2)证明:当时,;(3)证明:当时,.
(本小题共12分)已知焦点在轴的椭圆 的左、右焦点分别为,直线过右焦点,和椭圆交于两点,且满足,直线的斜率为 .(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的右焦点,T为直线上纵坐标不为0的任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.(ⅰ)若OT平分线段PQ(其中O为坐标原点),求的值;(ⅱ)在(ⅰ)的条件下,当最小时,求点T的坐标.
(本小题共12分)如图,四棱锥P - ABCD的底面是边长为1的正方形,PA⊥底面ABCD,E、F分别为AB、PC的中点.(1)若PA = 1,求证:EF⊥平面PCD;(2)若PA = 2,试问在线段EF上是否存在点Q,使得二面角 Q - AP - D的余弦值为?若存在,确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.
(本小题共12分)某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六段, 后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四小组的频率,补全这个频率分布直方图;并估计该校学生的数学成绩的中位数.(2)从数学成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.(3)假设从全市参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取4个学生,设这四个学生中数学成绩为80分以上(包括80分)的人数为X,(以该校学生的成绩的频率估计概率),求X的分布列和数学期望.