等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列,，且．（Ⅰ）

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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等差数列的各项均为正数，，前项和为，为等比数列, ，且．（Ⅰ）求与；（Ⅱ）求数列的前项和。

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设 $a ＞ 1$ ，函数 $f (x) = (1 + x^{2}) e^{x} - a$ ．
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）证明 $f (x)$ 在 $(- \infty, + \infty)$ 上仅有一个零点；
（3）若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M (m, n)$ 处的切线与直线 $O P$ 平行，（ $O$ 是坐标原点），证明： $m \leq \sqrt[3]{a - \frac{2}{e}} ﹣ 1$ ．

题型：未知
难度：未知

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如图，三角形 $△ P D C$ 所在的平面与长方形 $A B C D$ 所在的平面垂直， $P D = P C = 4$ ， $A B = 6$ ， $B C = 3$ ，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 、 $G$ 分别在线段 $A B$ 、 $B C$ 上，且 $A F = 2 F B$ ， $C G = 2 G B$ ．

（1）证明： $P E ⊥ F G$ ；
（2）求二面角 $P - A D - C$ 的正切值；
（3）求直线 $P A$ 与直线 $F G$ 所成角的余弦值．

题型：未知
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某工厂36名工人年龄数据如图：

（1）用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
（2）计算（1）中样本的均值 $\bar{x}$ 和方差 $s^{2}$ ；
（3）36名工人中年龄在 $\bar{x}$ ﹣ $s$ 和 $\bar{x}$ + $s$ 之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 $0.01 %$ ）？

题型：未知
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在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知向量 $\overset{⇀}{π} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}), \overset{⇀}{n} = (\sin x, \cos x), x \in (0, \frac{π}{2})$ ．

（1）若 $\overset{⇀}{π} ⊥ \overset{⇀}{n}$ ，求 $\tan x$ 的值；
（2）若 $\overset{⇀}{π}$ 与 $\overset{⇀}{n}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，求 $x$ 的值．

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已知集合 $X = \{1, 2, 3\}, Y_{n} = \{1, 2, 3, \dots, n\} (n \in N^{*})$ ， $S_{n} = \{(a, b) a 整除 b 或 b 整除 a, a \in X, b \in Y_{n}\}$ ,令 $f (n)$ 表示集合 $S_{n}$ 所含元素的个数.
（1）写出 $f (6)$ 的值；
（2）当 $n \geq 6$ 时，写出 $f (n)$ 的表达式，并用数学归纳法证明.

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