（本小题满分12分）已知且,(1)求函数的表达式；(2)判断

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分12分）已知且,
(1)求函数的表达式； (2)判断的奇偶性与单调性，并说明理由；
(3)对于函数，当时，恒成立，求的取值范围.

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如图,椭圆E: $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ,点 $P (0, 1)$ 在短轴 $C D$ 上,且 $\overset{⇀}{P C} \cdot \overset{⇀}{P D} = - 1$

（Ⅰ）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）设 $O$ 为坐标原点,过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A 、 B$ 两点.是否存在常数 $λ$ ,使得 $\overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O B} + λ \overset{⇀}{P A} \cdot \overset{⇀}{P B}$ 为定值？若存在,求 $λ$ 的值;若不存在,请说明理由.

题型：未知
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已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 为 $△ A B C$ 的内角， $\tan A$ 、 $t a n B$ 是关于方程 $x^{2} ＋ p x － p ＋ 1 ＝ 0 （ p \in R ）$ 两个实根.
（Ⅰ）求 $C$ 的大小
（Ⅱ）若 $A B ＝ 1$ ， $A C ＝ \sqrt{6}$ ，求 $p$ 的值

题型：未知
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一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：

（Ⅰ）请按字母 $F, G, H$ 标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面 $B E G$ 与平面 $A C H$ 的位置关系,并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线 $D F ⊥$ 平面 $B E G$ .

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一辆小客车上有5个座位，其座位号为1，2，3，4，5，乘客 $P_{1} ， P_{2}, P_{3} ， P_{4} ， P_{5}$ 的座位号分别为1，2，3，4，5，他们按照座位号顺序先后上车，乘客P₁因身体原因没有坐自己号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
（Ⅰ）若乘客 $P_{1}$ 坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法.下表给出其中两种坐法，请填入余下两种坐法（将乘客就坐的座位号填入表中空格处）

乘客	$P_{1}$	$P_{2}$	$P_{3}$	$P_{4}$	$P_{5}$
座位号	3	2	1	4	5
3	2	4	5	1

（Ⅱ）若乘客 $P_{1}$ 坐到了2号座位，其他乘客按规则就坐，求乘客 $P_{1}$ 坐到5号座位的概率.

题型：未知
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设数列 $\{a n\} (n ＝ 1, 2, 3 \dots)$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = 2 a_{n} - a_{3}$ ,且 $a_{1}, a_{2} ＋ 1, a_{3}$ 成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列 $\{\frac{1}{a_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ,求 $T_{n}$ .

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