已知y= log的定义域为R,则实数m的取值范围是
设 b > 0 ,数列 a n 满足 a 1 = b , a n = n b a n - 1 a n - 1 + 2 n - 2 ( n ≥ 2 ) ,
(1)求数列 a n 的通项公式.
(2)证明:对于一切正整数 n , a n ≤ b n + 1 2 n + 1 + 1
F ( 5 , 0 ) 设圆 C 与两圆 ( x + 5 ) 2 + y 2 = 4 , ( x - 5 ) 2 + y 2 = 4 中的一个内切,另一个外切.
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程.
(2)已知点 M ( 3 5 5 , 4 5 5 ) , F ( 5 , 0 ) 且 P 为 L 上动点,求 M P - F P 的最大值及此时点 P 的坐标.
如图,在锥体 P - A B C D 中,ABCD是边长为1的菱形,且 ∠ D A B = 60 ° , P A = P D = 2 , P B = 2 ,E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明: A D ⊥ 平面 D E F
(2)求二面角 P - A D - B 的余弦值
为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素 x , y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x , y 满足 x ≥ 175 且 y ≥ 75 ,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数 ξ 的分布列极其均值(即数学期望)。
已知函数 f ( x ) = 2 sin ( 1 3 x - π 6 ) , x ∈ R .
(1)求 f ( 5 π 4 ) 的值;
(2)设 α , β ∈ [ 0 , π 2 ] , f ( 3 α + π 2 ) = 10 13 , f ( 3 β + 2 π ) = 6 5 ,求 cos ( α + β ) 的值.