(本小题12分)袋中有形状大小完全相同的8个小球,其中红球5个,白球3个。某人逐个从袋中取球,第一次取出一个小球,记下颜色后放回袋中;第二次取出一个小球,记下颜色后,不放回袋中,第三次取出一个小球,记下颜色后,放回袋中,第四次取出一个小球,记下颜色后不放回袋中……,如此进行下去,直到摸完球为止。 (1)求第四次恰好摸到红球的概率; (2)记ξ为前三次摸到红球的个数,写出其分布列,并求其期望Eξ。
(本小题满分13分)已知经过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点,若存在一定点,使得无论怎样运动,总有直线的斜率与的斜率互为相反数. (1)求与的值; (2)对于椭圆:,经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点,是否存在定点,使得无论怎样运动,都有?若存在,求出坐标;若不存在,说明理由.
(本小题满分13分)如图,在正三棱柱中,已知,,是的中点,在棱上. (1)求异面直线与所成角; (2)若平面,求长; (3)在棱上是否存在点,使得二面角的大小等于,若存在,求的长;若不存在,说明理由.
(本小题满分13分)椭圆的左、右焦点分别是,,过斜率为1的直线与椭圆相交于,两点,且,,成等差数列. (1)请探求与的关系; (2)设点在线段的垂直平分线上,求椭圆的方程.
(本小题满分12分)如图所示,直三棱柱中,,,棱,分别是、的中点. (1)求的长; (2)求的值; (3)求证:.
(本小题满分12分) 已知命题表示焦点在轴的双曲线,命题是增函数,若或为真命题,且为假命题,求实数的取值范围.