(本小题满分12分)定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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(本小题满分12分)
定义在R上的函数满足：对任意实数m，n，总有，且当时，．
（1）试求的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）若不等式对恒成立，求实数x的取值范围．

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设数列 $\{a_{n}\}$ ： $1, - 2, - 2, 3, 3, 3, - 4, - 4, - 4, - 4, \dots, \overset{k 个}{\overset{⏞}{{(- 1)}^{k - 1} k, \dots, {(- 1)}^{k - 1} k}}, \dots$ ，即当 $\frac{(k - 1) k}{2} < n \leq \frac{k (k + 1)}{2} (k \in N^{*})$ 时，记 $a_{n} = {(- 1)}^{k - 1} k$ .记 $S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} (n \in N^{*})$ . 对于 $l \in N^{*}$ ，定义集合 $p_{i} = \{n S_{n} 是 a_{n} 的整数倍, n \in N^{*}, 1 \leq n \leq l\}$ .
（1）求集合 $P_{11}$ 中元素的个数；
（2）求集合 $P_{2000}$ 中元素的个数.

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如图，在直三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1} - A B C$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 2$ ， $A A_{1} = 4$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点.

（1）求异面直线 $A_{1} B$ 与 $C_{1} D$ 所成角的余弦值；
（2）求平面 $A D C_{1}$ 与平面 $A B A_{1}$ 所成二面角的正弦值.

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已知 $a \geq b > 0$ ，求证： $2 a^{3} - b^{3} \geq 2 a b^{2} - a^{2} b$ .

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在平面直角坐标系 $x O y$ 中,直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = t + 1 \\ y = 2 t \end{cases}$ ,( $t$ 为参数),曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 2 \tan^{2} θ \\ y = 2 \tan θ \end{cases}$ ,( $θ$ 为参数),试求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的普通方程,并求它们的公共点的坐标.

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已知矩阵 $A = [\begin{matrix} - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}]$ ， $B = [\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 6 \end{matrix}]$ ，求矩阵 $A^{- 1} B$ .

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