已知函数 $f\left(x\right)=\sin (\omega x+\frac{\pi }{6})+\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})-2{\cos }^2\frac{\omega x}{2},x\in R$（其中 $\omega >0$）
（I）求函数 $f\left(x\right)$的值域；
（II）若对任意的 $a\in R$，函数 $y=f\left(x\right)$， $x\in (a,a+\pi ]$的图象与直线 $y=-1$有且仅有两个不同的交点，试确定 $\omega$的值（不必证明），并求函数 $y=f\left(x\right),x\in R$的单调增区间．