在直角坐标系 $xOy$中，已知圆心在第二象限、半径为 $2\sqrt{2}$的圆 $C$与直线 $y=x$相切于坐标原点 $O$.椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{9}=1$与圆 $C$的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
（1）求圆 $C$的方程；
（2）试探究圆 $C$上是否存在异于原点的点 $Q$，使 $Q$到椭圆的右焦点 $F$的距离等于线段 $OF$的长，若存在求出 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由.