下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准煤)的几组对照数据
(1) 请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y = b ^ x + a ^ ; (3)已知该厂技术改造前 100 吨甲产品能耗为 90 吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤? (参考数据: 3 × 2 . 5 + 4 × 3 + 5 × 4 + 6 × 4 . 5 = 66 . 5 )
(本题满分15分)四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,E为AD的中点,ABCE为菱形,∠BAD=120°,PA=AB,G,F分别是线段CE,PB上的动点,且满足==λ∈(0,1). (Ⅰ) 求证:FG∥平面PDC; (Ⅱ) 求λ的值,使得二面角F-CD-G的平面角的正切值为.
(本题满分14分) 设等差数列{an}的首项a1为a,前n项和为Sn. (Ⅰ) 若S1,S2,S4成等比数列,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 证明:n∈N*, Sn,Sn+1,Sn+2不构成等比数列.
(本题满分14分) 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 tan (A+B)=2.(Ⅰ) 求sin C的值;(Ⅱ) 当a=1,c=时,求b的值.
(本题满分15分) 设抛物线C1:x 2=4 y的焦点为F,曲线C2与C1关于原点对称. (Ⅰ) 求曲线C2的方程; (Ⅱ) 曲线C2上是否存在一点P(异于原点),过点P作C1的两条切线PA,PB,切点A,B,满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
本题满分15分) 已知函数f (x)=x3+ax2+bx, a , bR. (Ⅰ) 曲线C:y=f (x) 经过点P (1,2),且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1,求a,b的值; (Ⅱ) 已知f (x)在区间 (1,2) 内存在两个极值点,求证:0<a+b<2.