2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型_优题课试题网

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为200的十字型地域，计划在正方形上建一座“观景花坛”，造价为4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元,再在四个空角（如等）上铺草坪，造价为80元.设长为,长为.
(1)试找出与满足的等量关系式；
(2)设总造价为元,试建立与的函数关系；
(3)若总造价不超过138000元，求长的取值范围.

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已知实数 $a \neq 0$ ，设函数 $f (x) = a \ln x + \sqrt{x + 1}, x > 0 .$

（1）当 $a = - \frac{3}{4}$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

（2）对任意 $x \in [\frac{1}{e^{2}}, + \infty)$ 均有 $f (x) \leq \frac{\sqrt{x}}{2 a},$ 求 $a$ 的取值范围.

注： $e = 2.71828 . . .$ 为自然对数的底数.

题型：未知
难度：未知

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如图，已知点 $F (1 ， 0)$ 为抛物线 $y^{2} = 2 px (p > 0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A, B$ 两点，点 $C$ 在抛物线上，使得 $△ ABC$ 的重心 $G$ 在 $x$ 轴上，直线 $AC$ 交 $x$ 轴于点 $Q$ ，且 $Q$ 在点 $F$ 右侧.记 $△ AFG, △ CQG$ 的面积为 $S_{1}, S_{2}$ .

（1）求 $p$ 的值及抛物线的准线方程；

（2）求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的最小值及此时点 $G$ 的坐标.

题型：未知
难度：未知

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设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} = 4$ ， $a_{4} = S_{3}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足：对每 $n \in N^{*}, S_{n} + b_{n}, S_{n + 1} + b_{n}, S_{n + 2} + b_{n}$ 成等比数列.

（1）求数列 ${a_{n}}, {b_{n}}$ 的通项公式；

（2）记 $C_{n} = \sqrt{\frac{a_{n}}{2 b_{n}}}, n \in N^{*},$ 证明： $C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n} < 2 \sqrt{n}, n \in N^{*} .$

题型：未知
难度：未知

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如图，已知三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，平面 $A A_{1} C_{1} C ⊥$ 平面 $ABC$ , $∠ ABC = 90 °$ ， $∠ BAC = 30 °, A_{1} A = A_{1} C = AC, E, F$ 分别是 $AC, A_{1} B_{1}$ 的中点.

（1）证明： $EF ⊥ BC$ ；

（2）求直线 $EF$ 与平面 $A_{1} BC$ 所成角的余弦值.

题型：未知
难度：未知

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设函数 $f (x) = sin x, x \in R$ .

（1）已知 $θ \in [0, 2 π),$ 函数 $f (x + θ)$ 是偶函数，求 $θ$ 的值；

（2）求函数 $y = [f (x + \frac{π}{12})]^{2} + [f (x + \frac{π}{4})]^{2}$ 的值域.

题型：未知
难度：未知

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