某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1吨A产品，

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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某厂用甲、乙两种原料生产A、B两种产品，已知生产1吨A产品，1吨B产品分别需要的甲、乙原料数，可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示．问：在现有原料下，A、B产品应各生产多少才能使利润总额最大？利润总额最大是多少？列产品和原料关系表如下：

原料

A产品
（1吨）

B产品
（1吨）

总原料
（吨）

甲原料（吨）

乙原料（吨）

利润（万元）

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某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN平行， $O O^{'}$ 为铅垂线( $O^{'}$ 在 AB上).经测量，左侧曲线 AO上任一点 D到 MN的距离 $h_{1}$ (米)与 D到 $O O^{'}$ 的距离 a(米)之间满足关系式 $h_{1} = \frac{1}{40} a^{2}$ ；右侧曲线 BO上任一点 F到 MN的距离 $h_{2}$ (米)与 F到 $O O^{'}$ 的距离 b(米)之间满足关系式 $h_{2} = - \frac{1}{800} b^{3} + 6 b$ .已知点 B到 $O O^{'}$ 的距离为40米.

（1）求桥 AB的长度；

（2）计划在谷底两侧建造平行于 $O O^{'}$ 的桥墩 CD和 EF，且 CE为80米，其中 C， E在 AB上(不包括端点).桥墩 EF每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 $\frac{3}{2} k$ (万元)( k>0).问 $O^{'} E$ 为多少米时，桥墩 CD与 EF的总造价最低?

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在△ ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 $a = 3, c = \sqrt{2}, B = 45 °$ ．

（1）求 $\sin C$ 的值；

（2）在边 BC上取一点 D，使得 $\cos ∠ ADC = - \frac{4}{5}$ ，求 $\tan ∠ DAC$ 的值．

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在三棱柱 ABC- A ₁ B ₁ C ₁中， AB⊥ AC， B ₁ C⊥平面 ABC， E， F分别是 AC， B ₁ C的中点．

（1）求证： EF∥平面 AB ₁ C ₁；

（2）求证：平面 AB ₁ C⊥平面 ABB ₁．

题型：未知
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已知函数 $f (x) = x^{3} + k \ln x (k \in R)$ ， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

（Ⅰ）当 $k = 6$ 时，

（i）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（ii）求函数 $g (x) = f (x) - f^{'} (x) + \frac{9}{x}$ 的单调区间和极值；

（Ⅱ）当 $k ⩾ - 3$ 时，求证：对任意的 $x_{1}, x_{2} \in [1, + \infty)$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ，有 $\frac{f^{'} (x_{1}) + f^{'} (x_{2})}{2} > \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}}$ ．

题型：未知
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已知 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1, a_{5} = 5 (a_{4} - a_{3}), b_{5} = 4 (b_{4} - b_{3})$ ．

（Ⅰ）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（Ⅱ）记 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} S_{n + 2} < S_{n + 1}^{2} (n \in N^{*})$ ；

（Ⅲ）对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = \{\begin{matrix} \frac{(3 a_{n} - 2) b_{n}}{a_{n} a_{n + 2}}, & n 为奇数, \\ \frac{a_{n - 1}}{b_{n + 1}}, & n 为偶数 . \end{matrix}$ 求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 n$ 项和．

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