一个圆经过点P(2,-1)和直线x-y=1相切且圆心在直线y = -2x上,求它的方程。
已知函数 f ( x ) = ln ( 1 + x ) - x 1
(Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)记 f ( x ) 在区间 0 , π ( n ∈ N * )上的最小值为 b x 令 a n = ln ( 1 + n ) - b x . (ⅰ)如果对一切 n ,不等式 a n < a n - 2 - c a n + 2 恒成立,求实数 c 的取值范围; (ⅱ)求证: a 1 a 3 + a 1 a 3 a 2 a 4 + . . . + a 1 a 3 . . . a 2 n - 1 a 2 a 4 . . . a 2 n < 2 a n + 1 - 1 .
如图,椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的一个焦点是 F ( 1 , 0 ) , O 为坐标原点。
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点,若直线 l 绕点 F 任意转动,值有 | O A | 2 + | O B | 2 < | A B | 2 ,求 a 的取值范围。
某项考试按科目 A 、科目 B 依次进行,只有当科目 A 成绩合格时,才可继续参加科目 B 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试,科目A每次考试成绩合格的概率均为 2 3 ,科目 B 每次考试成绩合格的概率均为 1 2 ,假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这项考试过程中,假设他不放弃所有的考试机会,记他参加考试的次数为 ξ ,求 ξ 的数学期望 E ξ 。
已知函数 f x = 1 3 x 3 + x 2 - 2 。 (Ⅰ)设 a n 是正数组成的数列,前 n 项和为 S n ,其中 a 1 = 3 ,若点 n ∈ N * 在函数 y = f ` x 的图象上,求证:点 n , S n 也在 y = f ` x 的图象上; (Ⅱ)求函数 f x 在区间 a - 1 , a 内的极值。
如图,在四棱锥 P - A B C D 中,则面 P A D ⊥ 底面 A B C D ,侧棱 P A = P D = 2 ,底面 A B C D 为直角梯形,其中 B C / / A D , A B ⊥ A D , A D = 2 A B = 2 B C = 2 , O 为 A D 中点.
(Ⅰ)求证: P O ⊥ 平面 A B C D ; (Ⅱ)求异面直线 P D 与 C D 所成角的大小; (Ⅲ)线段 A D 上是否存在点 Q ,使得它到平面 P C D 的距离为 3 2 ?若存在,求出 A Q Q D 的值;若不存在,请说明理由.