已知 $a$、 $b$、 $c$均为正数，证明： $a^2+b^2+c^2+{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)}^2\ge 6\sqrt{3}$，并确定 $a$、 $b$、 $c$为何值时，等号成立。