如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中， $E,H$ 分别是棱 $A_1{B}_1,D_1{C}_1$ 上的点（点 $E$ 与 $B_1$ 不重合），且 $EH//A_1{D}_1$ . 过 $EH$ 的平面与棱 $B{B}_1,C{C}_1$ 相交，交点分别为 $F,G$ .

（I）证明： $AD//$ 平面 $EFGH$ ;

（II）设 $AB=2A{A}_1=2a$ .在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 内随机选取一点.记该点取自几何体 $A_{1}ABFE-D_{1}DCGH$ 内的概率为 $p$ ，当点 $E,F$ 分别在棱 $A_1{B}_1$ 上运动且满足 $EF=a$ 时，求 $p$ 的最小值.