(本小题满分12分)甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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(本小题满分12分) 甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛: 第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.
求：（I）打满3局比赛还未停止的概率；
（II）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.

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在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用 $x_{n}$ 表示编号为 $n$ （ $n$ =1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号 $n$	1	2	3	4	5
成绩 $x_{n}$	70	76	72	70	72

（1）求第6位同学的成绩 $x_{6}$ ，及这6位同学成绩的标准差 $s$ ；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．

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已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{3} x - \frac{π}{6}), x \in R$ ．
（1）求 $f (0)$ 的值；
（2）设 $α, β \in [0, \frac{π}{2}], f (3 α + \frac{π}{2}) = \frac{10}{13}, f (3 β + \frac{π}{2}) = \frac{6}{5}$ .求 $\sin (α + β)$ 的值．

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已知 $a, b$ 为常数，且 $a \neq 0$ ，函数 $f (x) = - a x + b + a x \ln x$ ， $f (e) = 2$ （ $e$ =2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数 $b$ 的值；
（II）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（III）当 $a$ =1时，是否同时存在实数 $m$ 和 $M$ （ $m < M$ ），使得对每一个 $t \in [m, M]$ ，直线 $y = t$ 与曲线 $y = f (x), (x \in [\frac{1}{e}, e])$ 都有公共点？若存在，求出最小的实数 $m$ 和最大的实数 $M$ ；若不存在，说明理由．

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设函数 $f (θ) = \sqrt{3} \sin θ + \cos θ$ ，其中，角 $θ$ 的顶点与坐标原点重合，始边与 $x$ 轴非负半轴重合，终边经过点 $P (x, y)$ ，且 $0 \leq θ \leq π$ ．
（Ⅰ）若点 $P$ 的坐标为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，求 $f (θ)$ 的值；
（Ⅱ）若点 $P (x, y)$ 为平面区域 $Ω : \{\begin{matrix} x + y \geq 1 \\ x \leq 1 \\ y \leq 1 \end{matrix}$ 上的一个动点，试确定角 $θ$ 的取值范围，并求函数 $f (θ)$ 的最小值和最大值．

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如图,四棱锥 $P - A B C D$ 中, $P A ⊥$ 底面 $A B C D, A B ⊥ A D$ ,点 $E$ 在线段 $A D$ 上,且 $C E ∥ A B$ ．

(Ⅰ)求证: $C E ⊥$ 平面 $P A D$ ；
(Ⅱ)若 $P A = A B = 1, A D = 3, C D = \sqrt{2}, ∠ C D A = 45^{°}$ ,求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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