（本小题满分15分）如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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（本小题满分15分）
如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为(单位:米)的矩形,上部是斜边长为的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米.
（Ⅰ）求的关系式，并求的取值范围；
（Ⅱ）问分别为多少时用料最省?

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已知函数 $f (x) = A \sin (3 x + φ) (A > 0, x \in (- \infty, + \infty)), 0 < φ < π$ 在 $x = \frac{π}{12}$ 时取得最大值4．　
(1)求 $f (x)$ 的最小正周期；
(2)求 $f (x)$ 的解析式；
(3)若 $f (\frac{2}{3} α + \frac{π}{12}) = \frac{12}{5}$ ,求 $\sin α$ ．

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（1）已知矩阵M= $(\begin{matrix} 1 & a \\ b & 1 \end{matrix})$ ，N= $(\begin{matrix} c & 2 \\ 0 & d \end{matrix})$ ，且MN= $(\begin{matrix} 2 & 0 \\ - 2 & 0 \end{matrix})$ 。
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（Ⅱ）求直线 $y = 3 x$ 在矩阵 $M$ 所对应的线性变换作用下的像的方程。
（2）在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $L$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 3 - \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = \sqrt{5} + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{cases}$ （ $t$ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 $x O y$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，圆 $C$ 的方程为 $ρ = 2 \sqrt{5} \sin θ$ 。
（Ⅰ）求圆 $C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆 $C$ 与直线 $L$ 交于点 $A, B$ 。若点 $P$ 的坐标为（ $3, \sqrt{5}$ ），求 $|P A| + |P B|$ 。
（3）已知函数 $f (x) = |x - a|$ .
（Ⅰ）若不等式 $f (x) \leq 3$ 的解集为 $\{x - 1 \leq x \leq 5\}$ ，求实数 $a$ 的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若 $f (x) + f (x + 5) \geq m$ 对一切实数 $x$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

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