(本小题满分13分)一个盒子中装有5张卡片,每张卡片上写有一个数字,数字分别是1、2、3、5,现从盒子中随机抽取卡片。(I)若从盒子中有放回地抽取3次卡片,每次抽取一张,求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率;(II)若从盒子中依次抽取卡片,每次抽取一张,取出的卡片不放回,当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取,否则继续抽取卡片,求抽取次数X的分布列和期望。
选修4-4:坐标系与参数方程 (Ⅰ)求直线(为参数)的倾斜角的大小. (Ⅱ)在极坐标系中,已知点,是曲线上任意一点,求的面积的最小值.
选修4-2:矩阵与变换已知矩阵,向量, (Ⅰ)求矩阵A的特征值和对应的特征向量; (Ⅱ)求向量,使得.
.已知函数 (Ⅰ)当时,求的值域 (Ⅱ)设,若在恒成立,求实数a的取值范围 (III)设,若在上的所有极值点按从小到大排成一列, 求证:
.(本小题满分13分) 以椭圆:的中心为圆心,为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为,左焦点为,上顶点为,且满足,. (Ⅰ)求椭圆及其“准圆”的方程; (Ⅱ)若椭圆的“准圆”的一条弦(不与坐标轴垂直)与椭圆交于、两点,试证明:当时,试问弦的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
.(本小题满分13分) 已知数列是各项均不为的等差数列,公差为,为其前项和.向量、满足,.数列满足,为数列的前n项和. (Ⅰ)求、和; (Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.