(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知△的周长为，且．
　　（1）求边长的值；
　　（2）若（结果用反三角函数值表示）．

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定义：曲线 $C$ 上的点到直线l的距离的最小值称为曲线 $C$ 到直线l的距离，已知曲线 $C_{1} : y = x^{2} + a$ 到直线 $l : y = x$ 的距离等于曲线 $C_{2} : x^{2} + (y + 4)^{2} = 2$ 到直线 $l : y = x$ 的距离，则实数 $a =$

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已知函数 $f (x) = x - \ln (x + a)$ 的最小值为0，其中 $a > 0$

（Ⅰ）求 $a$ 的值；
（Ⅱ）若对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 有 $f (x) \leq k x^{2}$ 成立，求实数 $k$ 的最小值；
（Ⅲ）证明 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{2}{2 i - 1} - \ln (2 n + 1) < 2, (n \in N^{*})$ .

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A, B$ ，点 $P$ 在椭圆上且异于 $A, B$ 两点， $O$ 为坐标原点.
（Ⅰ）若直线 $A P$ 与 $B P$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若 $|A P| = |O A|$ ，证明直线 $O P$ 的斜率 $k$ 满足 $|k| > \sqrt{3}$

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已知 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，且 $a_{1} = b_{1} = 2, a_{4} + b_{4} = 27$ ， $S_{4} - b_{4} = 10$ .
（Ⅰ）求数列 $\{a_{n}\}$ 与 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；
（Ⅱ）记 $T_{n} = a_{n} b_{1} + a_{n - 1} b_{2} + \dots + a_{1} b_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ，证明 $T_{n} + 12 = - 2 a_{n} + 10 b_{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）.

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, A C ⊥ A D, A B ⊥ B C, ∠ B A C = 45^{°}, P A = A D = 2, A C = 1$ .
（Ⅰ）证明 $P C ⊥ A D$ ；
（Ⅱ）求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值；
（Ⅲ）设 $E$ 为棱 $P A$ 上的点，满足异面直线 $B E$ 与 $C D$ 所成的角为 $30^{°}$ ，求 $A E$ 的长.

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