(本小题满分12分)某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据,用条形图表示(如图)。 (1)求该班学生每天在家学习时间的平均值; (2)该班主任用公层抽样方法(按学习时间分五层)选出10个谈话,求在学习时间1个小时的学生中选出的人数; (3)假设学生每天在家学习时间为18时至23时,已知甲每天连续学习2小时,乙每天连续学习3小时,求22时甲、乙都在学习的概率。
(本小题满分14分)在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:PB=1:2(如图1)。将△AEF沿EF折起到DA1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连结A1B、A1P(如图2) (Ⅰ)求证:A1E⊥平面BEP; (Ⅱ)求直线A1E与平面A1BP所成角的大小。
(本小题满分14分)设数列的前项和为,已知, (1)令求证:是等比数列; (2)令,设是数列的的前项和,求满足不等式的的最小值。
(本小题满分14分) 已知函数,其中 (1)求函数在区间上的单调递增区间和值域; (2)在中,,,分别是角的对边,,且的面积,求边的值.
已知的三个顶点在抛物线上,是抛物线的焦点,且,. (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)若直线与上述抛物线相交于点,直线过点且与处的切线垂直. 求证:直线关于直线的对称直线经过定点.
设函数. (Ⅰ)若函数在上单调递增,在上单调递减,求实数的最大值; (Ⅱ)若对任意的,都成立,求实数的取值范围. 注:为自然对数的底数.