设数列的前项和为，对一切，点都在函数图像上，设为数列的前项积

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设数列的前项和为，对一切，点都在函数图像上，设为数列的前项积，是否存在实数，使得对一切都成立？若存在，求出的范围，若不存在，请说明理由

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（本题8分,每小题各4分）
（1）；（2）

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对于给定首项 $x_{0} > \sqrt[3]{a} (a > 0)$ ，由递推公式 $x_{n - 1} = \frac{1}{2} (x_{n} + \sqrt{\frac{a}{x_{n}}}) (n \in N)$ 得到数列 ${x_{n}}$ ，对于任意的 $n \in N$ ，都有 $x_{8} > \sqrt[3]{a}$ ，用数列 ${x_{n}}$ 可以计算 $\sqrt[3]{a}$ .

（1）取 $x_{0} = 5, a = 100$ ，计算 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 的值（精确到0．01）；归纳出 $x_{n}, x_{n + 1}$ 的大小关系；
（2）当 $n \geq 1$ 时，证明： $x_{n} - x_{n + 1} < \frac{1}{2} (x_{n - 1} - x_{n})$ .

（3）当 $x_{0} \in [5, 10]$ 时，用数列 ${x_{n}}$ 计算 $\sqrt[3]{100}$ 的近似值，要求 $|x_{n} - x_{n + 1}| < 10^{- 4}$ ，请你估计 $n$ ，并说明理由

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定义域为 $R$ ，且对任意实数 $x_{1}, x_{2}$ 都满足不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2}$ 的所有函数 $f (x)$ 组成的集合记为 $M$ ，例如，函数 $f (x) = k x + b \in M$ .
（1）已知函数 $f (x) = {\begin{matrix} x, x \geq 0 \\ \frac{1}{2} x, x < 0 \end{matrix}$ ，证明： $f (x) \in M$ ；
（2）写出一个函数 $f (x)$ ，使得 $f (x) \notin M$ ，并说明理由；
（3）写出一个函数 $f (x) \in M$ ，使得数列极限 $\underset{n \to \infty}{l i m} \frac{f (n)}{n^{2}} = 1, \underset{n \to \infty}{l i m} \frac{f (- n)}{- n} = 1$ .

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已知抛物线 $F : y^{2} = 4 x$

（1） $△ A B C$ 的三个顶点在抛物线 $F$ 上，记 $△ A B C$ 的三边 $A B$ 、 $B C$ 、 $C A$ 所在的直线的斜率分别为 $k_{A B}$ , $k_{B C}$ , $k_{C A}$ 若A的坐标在原点，求 $k_{A B} - k_{B C} + k_{C A}$ 的值；
（2）请你给出一个以 $P (2, 1)$ 为顶点、其余各顶点均为抛物线 $F$ 上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由

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某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形（如图）。现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形，用一个扇形蛋皮围成锥形侧面（蛋皮厚度忽略不计），求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积（精确到0．01）

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