(本小题满分10分)四个不同的小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中,依下列条件各有多少种放法。(1)每个盒子各放一个;(2)四个盒子恰有一个空着.
S n 为等差数列 { a n } 的前n项和,且 a n = 1 , S 7 = 28 . 记 b n = [ lg a n ] ,其中 [ x ] 表示不超过x的最大整数,如 [ 0 . 9 ] =0 , [ lg 99 ] =1 .
(1)求 b 1 , b 11 , b 101 ;
(2)求数列 { b n } 的前1 000项和.
设函数 f ( x ) = ( x - 1 ) 3 - ax - b , x ∈ R ,其中 a , b ∈ R 。
(1)求 f ( x ) 的单调区间;
(2)若 f ( x ) 存在极点 x 0 , 且 f ( x 1 ) = f ( x 0 ) ,其中 x 1 ≠ x 0 , 求证: x 1 + 2 x 0 = 3 ;
(3)设 a > 0 ,函数 g ( x ) = ∣ f ( x ) ∣ ,求证: g ( x ) 在区间 [ 0 , 2 ] 上的最大值不小于 1 4 .
设椭圆 x 2 a 2 + y 2 3 1 ( a > 3 ) 的右焦点为F,右顶点为A,已知 1 | OF | + 1 | OA | = 3 e | FA | ,其中O为原点,e为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点A的直线l与椭圆交于B(B不在 x 轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H,若 BF ⊥ HF ,且 ∠ MOA = ∠ MAO ,求直线 l 的斜率.
已知 { a n } 是各项均为整数得等差数列,公差为d,对任意的 n ∈ N * , b n 是 a n 和 a n + 1 得等比中项。
(1)设 c n = b n + 1 2 - b n 2 , n ∈ N * ,求证:数列 { c n } 是等差数列;
(2)设 a 1 = d , T n = ∑ k = 1 2 n ( - 1 ) k b k 2 , n ∈ N * ,求证: ∑ i = 1 n 1 T i < 1 2 d 2
如图,正方形 ABCD 的中心为 O ,四边形 OBEF 为矩形,平面 OBEF ⊥ 平面 ABCD , 点 G 为 A B 的中点, AB = BE = 2 .
(1)求证: EG ∥ 平面 ADF ;
(2)求二面角 O - EF - C 的正弦值;
(3)设 H为线段 AF 上的点,且 AH = 2 3 HF ,求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.