设数列的各项均为正数，若对任意的正整数，都有成等差数列，且成

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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设数列的各项均为正数，若对任意的正整数，都有成等差数列，且成等比数列．
（Ⅰ）求证数列是等差数列；
（Ⅱ）如果，求数列的前项和。

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在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.

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如图 $A B$ 是圆 $O$ 直径， $A C$ 是 $圆 O$ 切线， $B C$ 交 $圆 O$ 与点 $E$ .

（Ⅰ）若 $D$ 为 $A C$ 中点，求证： $D E$ 是 $圆 O$ 切线；
（Ⅱ）若 $O A = \sqrt{3} C E$ ，求 $∠ A C B$ 的大小.

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设函数 $f (x) = e^{2 x} - a \ln x$ .
（Ⅰ）讨论 $f (x)$ 的导函数 $f ` (x)$ 的零点的个数；
（Ⅱ）证明：当 $a > 0$ 时 $f (x) \geq 2 a + a \ln \frac{2}{a}$ .

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已知过点 $A (1, 0)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ 交于 $M, N$ 两点.
（Ⅰ）求 $k$ 的取值范围；
（Ⅱ） $\overset{⇀}{O M} \cdot \overset{⇀}{O N} = 12$ ,其中 $O$ 为坐标原点,求 $|M N|$ .

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某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$ （单位：千元）对年销售量 $y$ （单位： $t$ ）和年利润 $z$ （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费 $x_{i}$ 和年销售量 $y_{i} (i = 1, 2, \dots, 8)$ 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

$\bar{x}$	$\bar{y}$	$\bar{w}$	$\sum_{i = 1}^{8} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} {(w_{i} - \bar{w})}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{8} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - y)$	$\sum_{i = 1}^{8} (w_{i} - \bar{w}) (y_{i} - \bar{y})$
46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中 $w_{i}$ = $\sqrt{x_{i}}$ _ ，_{$\bar{w}$  }= $\frac{1}{8}$ $\sum_{i = 1}^{8} w_{i}$

（Ⅰ）根据散点图判断， $y = a + b x$ 与 $y = c + d \sqrt{x}$ ，哪一个适宜作为年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（III）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为 $z = 0.2 y - x$  ，根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（Ⅰ）当年宣传费 $x = 90$ 时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（Ⅱ）当年宣传费 $x$ 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 $(u_{1}, v_{1})$ , $(u_{2}, v_{2})$ ，……， $(u_{n}, v_{n})$ ,其回归线 $v = α + β u$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
$β = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - u)}^{2}}$ ， $α = \bar{v} - β u$

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