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在等式 $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1(x\in R)$的两边求导，得： $\left(\cos 2x\right)`=(2{\cos }^{2}x-1)`$，由求导法则，得 $(-\sin 2x)2`=4\cos x(-\sin x)$，化简得等式： $\sin 2x=2\cos x\sin x$.
（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 $(1+x{)}^n=C\begin{array}{c}0\\ n\end{array}+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+...+C_n^n{x}^n$ （ $x\in R$，正整数 $n\ge 2$），证明： $n\left[\right(1+x{)}^{n-1}-1]=\underset{k=2}{\overset{n}{\sum }}k{C}_n^k{x}^{k-1}$（2）对于正整数 $n\ge 3$，求证：
（i） $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}(-1{)}^{k}k{C}_n^k=0$   (ii) $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}(-1{)}^k{k}^2{C}_n^k=0$； （iii） $\underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{k+1}{C}_n^k=\frac{2^{n-1}-1}{n+1}$