有一种舞台灯,外形是正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1,在其每一个侧面上(不在棱上)安装5只颜色各异的彩灯,假若每只灯正常发光的概率是0.5,若一个面上至少有3只灯发光,则不需要维修,否则需要更换这个面. 假定更换一个面需100元,用ξ表示维修一次的费用.(1)求面ABB1A1需要维修的概率;(2)写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.
已知实数,设函数. (1)证明:; (2)若,求的取值范围.
在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,圆的方程为. (1)求圆的直角坐标方程; (2)若点,设圆与直线交于点,.求的最小值.
如图,交圆于,两点,切圆于,为上一点且,连接并延长交圆于点,作弦垂直,垂足为. (1)求证:为圆的直径; (2)若,求证:.
已知函数. (1)求函数的单调区间; (2)若对定义域内的任意恒成立,求实数的取值范围; (3)证明:对于任意正整数,,不等式恒成立.
已知点是椭圆上的任意一点,,是它的两个焦点,为坐标原点,动点满足. (1)求动点的轨迹的方程; (2)若与坐标轴不垂直的直线交轨迹于,两点且,求面积的取值范围.