已知正方体ABCD—中，E为棱CC上的动点，（1）求证：⊥；

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度中等
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已知正方体ABCD—中，E为棱CC上的动点，
（1）求证：⊥；
（2）当E恰为棱CC的中点时，求证：平面⊥；

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设椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，右顶点为 $A$ ，上顶点为 $B$ ．已知 $|A B| = \frac{\sqrt{3}}{2} |F_{1} F_{2}|$ ．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设 $P$ 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 $P B$ 为直径的圆经过点 $F_{1}$ ，经过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该圆相切，求直线 $l$ 的斜率．

题型：未知
难度：未知

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如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥ 底面 A B C D, A D ⊥ A B, A B ∥ D C$ ， $A D = D C = A P = 2$ ， $A B = 1$ ，点 $E$ 为棱 $P C$ 的中点．

（1）证明： $B E ⊥ D C$ ；
（2）求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；
（3）若 $F$ 为棱 $P C$ 上一点，满足 $B F \land A C$ ，求二面角 $F F - A B - P$ 的余弦值．

题型：未知
难度：未知

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某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设 $X$ 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望．

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已知函数 $f (x) = \cos x \cdot \sin (x + \frac{π}{3}) - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{4}$ ， $x \in R$ ．
（1）求 $f (x)$ 的最小正周期；
（2）求 $f (x)$ 在闭区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．

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设函数 $f (x) = |x + \frac{1}{a}| + |x - a| (a > 0)$ .

（1）证明： $f (x) \geq 2$ ；
（2）若 $f (3) < 5$ ，求 $a$ 的取值范围.

题型：未知
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