在凸五边形中，已知，且四点共圆．证明：四点共圆的充分必要条件

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更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较难
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在凸五边形中，已知，且四点共圆．

证明：四点共圆的充分必要条件是．

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已知 $△ A B C$ 的周长为 $\sqrt{2} + 1$ ，且 $\sin A + \sin B = \sqrt{2} \sin C$ ．
（I）求边 $A B$ 的长；
（II）若 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{1}{6} \sin C$ ，求角 $C$ 的度数．

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已知半椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \geq 0)$ 与半椭圆 $\frac{x^{2}}{c^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (x \leq 0)$ 组成的曲线称为"果圆"，其中 $a^{2} = b^{2} + c^{2}, a > 0, b > c > 0$ .如图，设点 $F_{0}, F_{1}, F_{2}$ 是相应椭圆的焦点， $A_{1}$ ， $A_{2}$ 和 $B_{1}$ ， $B_{2}$ 是"果圆" 与 $x$ ， $y$ 轴的交点，
（1）若三角形 $F_{0} F_{1} F_{2}$ 是边长为1的等边三角形，求"果圆"的方程；
（2）若 $|A_{1} A| > |B_{1} B|$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围；
（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数 $k$ ，使得斜率为 $k$ 的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

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若有穷数列 $a_{1}, a_{2}, . . ., a_{n}$ （ $n$ 是正整数），满足 $a_{1} = a_{n}, a_{2} = a_{n - 1}, . . . a_{n} = a_{1}$ 即 $a_{i} = a_{n - i + 1}$ （ $i$ 是正整数，且 $1 \leq i \leq n$ ），就称该数列为"对称数列"。
（1）已知数列 $\{b_{n}\}$ 是项数为7的对称数列，且 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}$ 成等差数列， $b_{1} = 2, b_{4} = 11$ ，试写出 $\{b_{n}\}$ 的每一项
（2）已知 $\{c_{n}\}$ 是项数为 $2 k - 1 (k \geq 1)$ 的对称数列，且 $c_{k}, c_{k - 1}, . . . c_{2 k - 1}$ 构成首项为50，公差为 $- 4$ 的等差数列，数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $2 k - 1$ 项和为 $S_{2 k - 1}$ ，则当 $k$ 为何值时， $S_{2 k - 1}$ 取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数 $m > 1$ ，试写出所有项数不超过 $2 m$ 的对称数列，使得 $1, 2, 2^{2}, \dots, 2^{m - 1}$ 成为数列中的连续项；当 $m > 1500$ 时，试求其中一个数列的前2008项和 $S_{2008}$

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已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x} (x \neq 0, a \in R)$

（1）判断 $f (x)$ 的奇偶性

（2）若 $f (x)$ 在 $[2, + \infty)$ 是增函数，求实数 $a$ 的范围.

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近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知 $2002$ 年全球太阳能年生产量为 $670$ 兆瓦，年增长率为 $34 %$ 。在此后的四年里，增长率以每年 $2 %$ 的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为 $36 %$ ）
（1）求 $2006$ 年的太阳能年生产量（精确到 $0.1$ 兆瓦）
（2）已知 $2006$ 年太阳能年安装量为 $1420$ 兆瓦，在此后的 $4$ 年里年生产量保持 $42 %$ 的增长率，若 $2010$ 年的年安装量不少于年生产量的 $95 %$ ，求 $4$ 年内年安装量的增长率的最小值（精确到 $0.1 %$ ）

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