给定整数,证明:存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A,B,数 与 是互素的合数.(这里与分别表示有限数集的所有元素之和及元素个数.)
(本小题满分10分)某地对人进行运动与性别是否有关测试,其中名男性中有名喜欢运动,名女性中名喜欢运动.(Ⅰ)根据以上数据建立一个列联表;(Ⅱ)判断喜欢运动是否与性别有关?参考数据:.临界值表:
(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知曲线(为参数),过点且斜率为的直线与曲线相交于不同的两点.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)设,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由.
(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)求函数单调区间;(Ⅱ)若,求证:当时,.
(本小题满分12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从全班名女同学,名男同学中随机抽取一个容量为的样本进行分析.随机抽出位,他们的数学分数从小到大排序是:、、、、、、、,物理分数从小到大排序是:、、、、、、、.(Ⅰ)若规定分以上(包括分)为优秀,求这位同学中恰有位同学的数学和物理分数均为优秀的概率;(Ⅱ)若这位同学的数学、物理分数对应如下表:
根据上表数据用变量与的相关系数或散点图说明物理成绩与数学成绩之间是否具有线性相关性?如果具有线性相关性,求与的线性回归方程(系数精确到);如果不具有线性相关性,请说明理由.参考公式:相关系数;回归直线的方程是:.其中对应的回归估计值;参考数据:;
(本小题满分12分)某同学参加高校自主招生门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为
(Ⅰ)求该生至少有门课程取得优秀成绩的概率及求,的值;(Ⅱ)求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望.