我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度容易
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我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。
（1）若定义在(0，＋∞)上的函数∈M，试比较与大小.
（2）设函数g(x)＝－x²，求证：g(x)∈M.

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设函数 $f (x)$ 定义在 $(0, + \infty)$ 上， $f (1) = 0$ ，导函数 $f ` (x) = \frac{1}{x}$ , $g (x) = f (x) + f ` (x)$ .

（Ⅰ）求 $g (x)$ 的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论 $g (x)$ 与 $g (\frac{1}{x})$ 的大小关系；

（Ⅲ）是否存在 $x_{0} > 0$ ，使得 $|g (x) - g (x_{0})| < \frac{1}{x}$ 对任意 $x > 0$ 成立？若存在，求出 $x_{0}$ 的取值范围；若不存在请说明理由。

题型：未知
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如图，A地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟）	$10 ~ 20$	$20 ~ 30$	$30 ~ 40$	$40 ~ 50$	$50 ~ 60$
$L_{1}$ 的频率	0.1	0.2	0.3	0.2	0.2
$L_{2}$ 的频率	0	0.1	0.4	0.4	0.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。
（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（Ⅱ）用 $X$ 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求 $X$ 的分布列和数学期望。

题型：未知
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如图，从点 $P_{1} (0, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = e^{x}$ 于点 $Q_{1} (0, 1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$ ，再从 $P_{2}$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1} ， Q_{1} ； P_{2} ， Q_{2} ； \dots ； P_{n} ， Q_{n}$ ,记 $P_{k}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0)$ $(k = 1, 2, \dots, n ）$ .

（Ⅰ）试求 $x_{k}$ 与 $x_{k - 1}$ 的关系（ $2 \leq k \leq n$ ）
（Ⅱ）求 $|P_{1} Q_{1}| + |P_{2} Q_{2}| + |P_{3} Q_{3}| + . . . + |P_{n} Q_{n}|$

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如图，设 $P$ 是圆珠笔 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上的投影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $|M D| = \frac{4}{5} |P D|$
（Ⅰ）当 $P$ 的在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（Ⅱ）求过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度.

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