现在要对某个学校今年将要毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎

更新 2022-09-03
科目数学
题型解答题
难度较易
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现在要对某个学校今年将要毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验，可以利用两种方法．①对每个人的血样分别化验，这时共需要化验900次；②把每个人的血样分成两份，取其中m个人的血样各一份混合在一起作为一组进行化验，如果结果为阴性，那么对这m个人只需这一次检验就够了；如果结果为阳性，那么再对这m个人的另一份血样逐个化验，这时对这m个人一共需要m+1次检验．据统计报道，对所有人来说，化验结果为阳性的概率为0.1．
（1）求当m=3时，一个小组经过一次检验就能确定化验结果的概率是多少？
（2）试比较在第二种方法中，m=4和m=6哪种分组方法所需要的化验次数更少一些？

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如图，在等腰直角 $△ O P Q$ 中， $∠ P O Q = 90^{°}$ ， $O P = 2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ 在线段 $P Q$ 上.

(Ⅰ) 若 $O M = \sqrt{5}$ ，求 $P M$ 的长；
（Ⅱ）若点 $N$ 在线段 $M Q$ 上，且 $∠ M O N = 30^{°}$ ，问：当 $∠ P O M$ 取何值时， $△ O M N$ 的面积最小？并求出面积的最小值.

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如图，抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ .点 $C$ 在抛物线 $E$ 上，以 $C$ 为圆心， $|C O|$ 为半径作圆，设圆 $C$ 与准线 $l$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ .

（I）若点 $C$ 的纵坐标为2，求 $|M N|$ ；
（II）若 ${|A F|}^{2} = |A M| \cdot |A N|$ ，求圆 $C$ 的半径.

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某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在"25周岁以上（含25周岁）"和"25周岁以下"分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组： $[50, 60)$ , $[60, 70)$ , $[70, 80)$ , $[80, 90)$ , $[90, 100)$ ,分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名"25周岁以下组"工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于80件者为"生产能手"，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为"生产能手与工人所在的年龄组有关"？

附： $x^{2} = \frac{n (n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}$ (注：此公式也可以写成 $k^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ）

$P (x^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

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如图，在四棱柱 $P - A B C D$ 中， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ , $A B / / D C$ , $A B ⊥ A D, D C = 3, B C = 5, A D = 4, ∠ P A D = 60^{°}$ .

（1）当正视方向与向量 $\vec{A D}$ 的方向相同时，画出四棱锥 $P - A B C D$ 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（2）若 $M$ 为 $P A$ 的中点，求证：求二面角 $D M / / 平面 P B C$ .

（3）求三棱锥 $D - P B C$ 的体积.

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已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .
(I)若 $a_{1}, a_{3}$ 成等比数列，求 $a_{1}$ ；
(II)若 $S_{5} > a_{1} a_{9}$ ,求 $a_{1}$ 的取值范围.

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