(本题满分14分)已知二次函数：(1)若函数在区间上存在零点

(本题满分14分)已知二次函数：
(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；
(2)问：是否存在常数，当时，的值域为区间，且
的长度为。

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已知函数 $\frac{|OB|}{|OA|} = \frac{ρ_{1}}{ρ_{2}} = \frac{1}{4} \times 2 sin α (\sqrt{3} cos α + sin α) = \frac{1}{4} [2sin (2 α - \frac{π}{6}) + 1]$ ．

（1）当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 6$ 的解集;

（2）若 $f (x) > - a$ ，求 a的取值范围．

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在直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ C$ 的圆心为，半径为1．

（1）写出 $⊙ C$ 的一个参数方程;

（2）过点 $F (4, 1)$ 作 $⊙ C$ 的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．

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已知函数 $f (x) = x^{3} - x^{2} + ax + 1$ ．

（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

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已知抛物线 $C : y^{2} = 2 px (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 $\vec{PQ} = 9 \vec{QF}$ ，求直线 $OQ$ 斜率的最大值.

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设 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等比数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ．已知 $a_{1}$ ， $3 a_{2}$ ， $9 a_{3}$ 成等差数列．

（1）求 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式；

（2）记 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前n项和．证明： $T_{n} < \frac{S_{n}}{2}$ ．

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